Sobre el uso óptimo de información finita sobre series de Dirichlet

El próximo jueves 07 de agosto a las 15:00 h, el destacado matemático peruano Harald Helfgott ofrecerá una conferencia en la sede del IMCA, en el marco de su participación en el XXXVIII Coloquio de la Sociedad Matemática Peruana. Ingreso libre previa inscripción.

Inscripciones (cupos limitados): https://forms.gle/p6FyUAtNffKt1UbH9

Resumen de la conferencia:

Consideremos una función aritmética, es decir, una función $a:\mathbb{Z} \to \mathbb{C}$ (o, de forma equivalente, una sucesión ${a_n}{n=1}^\infty$) que resulta de interés en teoría de números. En muchos casos, esta función da origen a una serie de Dirichlet $F(s) = \sum a_n n^{-s}$ con cierta continuación meromorfa al plano complejo. El objetivo es estimar las sumas parciales $\sum{n \leq x} a_n$. ¿Cómo hacerlo eficazmente si solo se conoce un número finito de polos de $F(s)$?

Un caso particularmente desafiante es el de la función de Möbius ($a_n = \mu(n)$). En cursos introductorios de teoría analítica de números, se aprende que acotar la función $M(x)$ está íntimamente relacionado con estimar la cantidad de primos menores que un entero dado. Sin embargo, aunque existen buenas estimaciones explícitas para los números primos, obtener cotas explícitas para $M(x)$ sigue siendo un problema notoriamente difícil.

En esta conferencia presentaremos un método óptimo para abordar este problema general. Como aplicación, se derivarán nuevas cotas para la función de Mertens, notablemente más fuertes que las disponibles en la literatura actual. Además, se obtendrán mejoras sustanciales en las estimaciones para el número de primos menores que $x$ en un amplio rango.

La estrategia emplea herramientas como las funciones tipo Beurling-Selberg y Graham-Vaaler, en particular el aproximante óptimo de Carneiro-Littmann para exponenciales truncadas. Aunque el método comparte ideas con enfoques como el teorema de Wiener-Ikehara y trabajos de Ramana y Ramaré, su desarrollo es en gran medida independiente de los resultados existentes, lo que abre la posibilidad de replantear buena parte de la teoría explícita actual en este campo.