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Minicurso: Espacios Métricos

Minicurso en el IMCA: Espacios Métricos

 

Profesor:  Alis Daniilidis

Universidad de Chile

 

Fechas: 14, 15, 17, 22, 23 y 25 de Octubre de 2019

Horas : 14h-17h

 

Aula 1

 

CONTENIDO

 
1. Preliminares

 1.1. Relaciones y Conjuntos
 1.2. El Axioma de Elección
 1.3. Aplicaciones del Axioma de elección
 1.4. Aritmética de Cardinales
 1.5. Ordinales

2. Espacios Métricos

2.1 Definición y ejemplos

2.2 Topología de un espacio métrico
   2.2.1 Conjuntos abiertos
   2.2.2 Conjuntos cerrados
   2.2.3 Convergencia de sucesiones
   2.2.4 Puntos de acumulación - Índice Cantor-Bendixson
   2.2.5 Conjuntos densos. Espacios separables
   2.2.6 Subespacios métricos

 2.3 Continuidad de funciones
   2.3.1 Distancia a un conjunto – Lema de Urysohn
   2.3.2 Conjuntos G – Puntos de continuidad

 2.4 Espacios Métricos Completos
   2.4.1 Definición y ejemplos
   2.4.2 Teorema de Intersección de Cantor
   2.4.3 Teorema de Categorías de Baire
   2.4.4 Teorema de Punto Fijo de Banach
   2.4.5 Principio Variacional de Ekeland

 2.5 Distancias equivalentes y uniformemente equivalentes
   2.5.1 Identificación topológica vs identificación métrica
   2.5.2 Distancias equivalentes
   2.5.3 Espacio producto de espacios métricos
   2.5.4 Extensiones continuas
   2.5.5 El Teorema de Mazurkiewicz

 2.6 Completación de un espacio métrico

 2.7 Compacidad en Espacios Métricos
   2.7.1 El teorema fundamental de los espacios métricos compactos
   2.7.2 Aplicaciones de la compacidad
   2.7.3 Teoremas clásicos: Dini, Tychonoff, Arzelà-Ascoli

 2.8 El Conjunto de Cantor
   2.8.1 Construcción y propiedades
   2.8.2 El conjunto de Cantor como espacio universal