Sistemas Dinámicos

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El objetivo de los sistemas dinámicos es estudiar las ecuaciones de evolución tratar de obtener información de su comportamiento a largo plazo, conociendo las características topológicas y métricas del espacio donde se definen. El estudio de los sitemas dinámicos se remontal final del siglo 19, cuando Henri Poincaré publica un trabajo sobre Mecánica Celeste (Les Méthodes Nouvelles de la Mécanique Céleste). En este trabajo, Poincaré, propuso usar conocimientos de otras áreas como topología, geometría, álgebra y análisis. Con esto logró describir, cualitativamente (sin tratar de resolver explícimente las ecuaciones), la evolución del sistema. Esta propuesta es la que marca el inicio de los Sistemas Dinámicos.

Actualmente, además de las ecuaciones de evolución, en los sistemas dinámicos se incluyen el estudio de las iteraciones de transformaciones, ecuaciones en diferencias, ecuaciones diferenciales parciales de evolución.

Es de notar que los resultados y métodos de los sistemas dinámicos han ayudado a explicar fenómenos complejos en química, física, biología, economía, entre otros.

Uno de esos métodos, usa tanto teoría ergódica como análisis. Un ejemplo de esto son los exponentes de Lyapunov, los cuales dan una idea de como es el comportamiento a largo plazo de soluciones que nacen de condiciones iniciales cercanas. Este conocimiento nos permite saber si el sistema es estable o no. Exponentes de Lyapunov positivos indican un sistema muy sensible a las condiciones iniciales. Por otro lado también es necesario estudiar la estabilidad estructural del sistema pues esto nos da un indicativo de que pequeños errores en la determinación del sistema no afectarán el comportamiento global a largo plazo.

Las áreas de interes del grupo de sistemas dinámicos en el IMCA son:

  • Estabilidad estocástica;
  • Exponentes de Lyapunov;
  • Hiperbolicidad singular;
  • Conjuntos invariantes e indicadores de estabilidad.

Publicaciones

  • Metzger, R. J. (2002 , 7). Teoría de la Medida en . 1 ed. Lima, Perú: SMP. Notas para el Coloquio XX, Perú 2002.
  • Metzger, R. J. (2008 , 2). Curso Básico de Teoría de la Medida. 1 ed. Lima, Perú: IMCA. Notas para EMALCA Perú 2008.
  • Carrasco-Olivera, D., Metzger, R., & Morales, C. A. (2015). Expansivity in 2-metric spaces. Indian J. Math., 57(3), 377–401.
  • Jung, W., Metzger, R., Morales, C. A., & Villavicencio, H. (2020). A distance between bounded linear operators. Topology Appl., 284, 9. Id/No 107359. doi:10.1016/j.topol.2020.107359
  • Lopez, A. M., Metzger, R. J., & Morales, C. A. (2018). Homoclinic orbits and entropy for three-dimensional flows. J. Dyn. Differ. Equations, 30(2), 799–805. doi:10.1007/s10884-017-9579-1
  • Metzger, R., & Morales, C. (2008). Sectional-hyperbolic systems. Ergodic Theory Dyn. Syst., 28(5), 1587–1597. doi:10.1017/S0143385707000995
  • Metzger, R., Morales, C. A., & Villavicencio, H. (2021). Generalized Archimedean spaces and expansivity. Topology Appl., 302, 8. Id/No 107831. doi:10.1016/j.topol.2021.107831
  • Metzger, R. J. (2000). Stochastic stability for contracting Lorenz maps and flows. Commun. Math. Phys., 212(2), 277–296. doi:10.1007/s002200000220
  • Metzger, R., Morales Rojas, C. A., & Thieullen, P. (2017). Topological stability in set-valued dynamics. Discrete Contin. Dyn. Syst., Ser. B, 22(5), 1965–1975. doi:10.3934/dcdsb.2017115
  • Metzger, R. J. (2000). Sinai-Ruelle-Bowen measures for contracting Lorenz maps and flows. Ann. Inst. Henri Poincaré, Anal. Non Linéaire, 17(2), 247–276. doi:10.1016/S0294-1449(00)00111-6
  • Metzger, R. J., & Morales, C. A. (2006). The Rovella attractor is a homoclinic class. Bull. Braz. Math. Soc. (N.S.), 37(1), 89–101. doi:10.1007/s00574-006-0005-2