Una introducción a la teoría geométrica y medible de grupos

Abstract:

En esta charla comenzaré con una introducción a la Teoría Geométrica de Grupos, un área popularizada por Misha Gromov en los años noventa. La idea principal consiste en considerar grupos infinitos finitamente generados como espacios métricos y estudiar las quasi-isometrías entre ellos.

Introduciré los invariantes bajo quasi-isometrías más clásicos: el crecimiento y el perfil isoperimétrico. Otro invariante importante bajo las quasi-isometrías es la amenabilidad de los grupos. Daré una breve introducción a los grupos amenables, presentando una caracterización dinámica y otra geométrica de esta propiedad. En cierto sentido, estos son los grupos cuya teoría ergódica se asemeja a la de los enteros.

Por otro lado, la equivalencia medible de grupos también fue introducida por Gromov como un análogo medible de la quasi-isometría entre grupos. En cierto sentido, dos grupos quasi-isométricos tienen dinámicas continuas similares. La equivalencia medible es el análogo de la quasi-isometría al contexto medible. Más aún, estaremos interesados en versiones cuantitativas de la equivalencia medible llamada Lp-equivalencia medible.

Si el tiempo lo permite, hablaré de trabajos en colaboración con Corentin Correia (sobre la invariancia del perfil isoperimétrico bajo la L^p-equivalencia medible) y con Antonio López Neumann (sobre la invariancia de los números de Betti bajo la L^p-equivalencia medible para grupos nilpotentes).

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